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函數(shù)方程求解 世界滾動

2023-07-02 10:46:09來源：個人圖書館-123xyz123  

題目如下:

文章中會使用一些數(shù)學符號:


(資料圖片僅供參考)

即 "令" 即 "恒等于" 即非負整數(shù)集 即正整數(shù)集 即整數(shù)集 即有理數(shù)集 即非負有理數(shù)集 即 "對于任意的/所有的"

一上來沒有太多思路的情況下最好的做法就是試值. 通過觀察函數(shù)方程的結(jié)構(gòu), 注意到最令人頭疼的是, 所以我們希望消除復合函數(shù). 自然會想到

這樣我們知道一個滿足該方程的函數(shù)是 , 接下來只需要討論 的情況. 因為我們已知, 自然要去利用這個條件, 所以 因此是函數(shù)方程的另一個解. 下面繼續(xù)討論 的情況. 我們目前知道的值, 下面自然會想到求出的值. 此時我們試值時要注意到不能繼續(xù)使用, 因為這只會讓我們知道另外, 注意到方程的結(jié)構(gòu)非常容易操作, 因為大部分函數(shù)內(nèi)并沒有再次進行運算, 唯一需要特別關(guān)注的是和兩項. 比較容易想到 我們已經(jīng)獲得了大量的信息, 因此現(xiàn)在不妨大膽猜測.

猜想1:

我們希望驗證剛才提出的猜想, 即 . 我們該怎么驗證呢？實際上, 可以參考剛才的思路. 一開始, 我們得出 , 從而推出 , 進而結(jié)合前面的結(jié)論推出. 其實我們是在個命題全部正確性的基礎(chǔ)上, 推出命題是正確的, 其中代表.

令代表命題, 若其中任意命題錯誤, 錯誤, 反之 正確. 我們之前的操作證明了對于 , , 現(xiàn)在我們希望證明 . 下面進行證明：

已知對于某,

由于

知

證明完畢后, 我們發(fā)現(xiàn)該證明可以直接使用. 這并不是大的問題, 也不會影響我們后續(xù)的證明, 所以無需修改.

這種證明方式, 即利用以及一些特殊情況 (base case) 的正確性來證明某猜想的一般性被稱為數(shù)學歸納法, 是一種常見的證明方法.

結(jié)論1:

接下來的兩部分證明具有一定的挑戰(zhàn)性. 既然我們已經(jīng)討論完正整數(shù)的情況, 接下來自然會想到將證明拓展到非負有理數(shù)情況 (即完成非負數(shù)部分證明). 不妨設(shè)有理數(shù)為 . 經(jīng)過合理的猜測, 我們希望證明

這并不好證明, 即使結(jié)合之前的結(jié)論也很難直接證明. 因此, 這種情況下一般會想到將題目及題目條件換一種方式表達出來. 對于這道題, 我們可以從兩個方面考慮:

盡量避免"復雜形式=簡單形式"的等式, 例如這里提出的. 原因也是很顯然的, 因為這樣很難看出其本質(zhì)與結(jié)構(gòu)特征, 并且可能省略了一些關(guān)鍵信息.函數(shù)內(nèi)盡量避免分數(shù), 因為沒法處理.

有了這兩條"原則", 經(jīng)過一些嘗試后題目可轉(zhuǎn)化為

到這里貌似遇到了困難, 所以再從之前證明的結(jié)論中尋找切入點. 目前我們不是很清楚如何使用之前的結(jié)論, 不妨再次嘗試試值.

猜想2:

在這個階段, 我們并不確定怎么避開分數(shù), 因為試值的目的就是分析的性質(zhì). 但是, 我們盡量避免出現(xiàn)類似的情況, 因為這樣會將我們的證明復雜化.

此時, 我們要考慮

并由此得出

我們希望能將原方程轉(zhuǎn)化為

其中是與有關(guān)的函數(shù)表達式. 因此, 可將原方程整理為

結(jié)合,

由

結(jié)論2:

接下來證明負數(shù)的情況. 我們依然考慮利用這一項作為突破點, 畢竟這允許我們結(jié)合對非負整數(shù)成立的性質(zhì)來求解. 若繼續(xù)使用跟前面一樣的試值方法會遇到一些困難 (可以自行嘗試, 留作練習). 因此, 可以先對條件盡可能地進行轉(zhuǎn)化. 這里需要進行嘗試, 但計算量并不大, 主要是利用之前的結(jié)論對方程進行展開, 并且要取原方程中的主要條件. 因為想從上突破, 所以令.

結(jié)合以上結(jié)論得

由得

由得

接下來有許多種處理方式, 在此我們介紹一個比較巧妙的函數(shù)方程組. 先看方法：

通過已知結(jié)論及, 構(gòu)造

那么我們?yōu)槭裁磿氲竭@一步呢？實際上, 我們發(fā)現(xiàn)的偶數(shù)次迭代給我們帶來了非常強的結(jié)論, 我們此時希望達到一個最好的情況, 也就是能將奇數(shù)次迭代的表達式與一個數(shù)字進行直接的比較, 而我們目前只能將的情況寫為一個數(shù)字, 因此會想到用. 也正是因為直接比較的需求, 我們希望能利用在正有理數(shù)域上的單調(diào)性將表達式簡化, 因此會想到取的平方. 經(jīng)過大膽的嘗試, 我們就可以得到以上方程組.相減, 并考慮在上的單調(diào)性：

若,

矛盾. 因為符合原方程, 則. 這里使用其他測試值也能得到矛盾, 不再展開說明.

對負數(shù)的情況使用數(shù)學歸納法, 再使用處理分數(shù)的思路 (留作練習), 可得出

或或

容易驗證這些函數(shù)均滿足原方程. 證畢.

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